Acum, când mă gândesc la matematica Monte Carlo, mă gândesc la o combinaţie fericită dintre acestea două: realismul tipului din Monte Carlo, fără superficialitatea lui, combinat cu intuiţia unui matematician, fără abstractizarea excesivă. Pentru că, într-adevăr, această ramură a matematicii este de un folos practic imens – nu prezintă aceeaşi ariditate asociată de obicei cu matematica. Am devenit dependent de ea din primul meu minut în meseria de trader. Mi-a modelat gândirea în majoritatea chestiunilor legate de aleatoriu. Cele mai multe exemple folosite în această carte au fost create cu un generator Monte Carlo, pe care îl voi prezenta în acest capitol. Totuşi avem de-a face, mai degrabă, cu un mod de gândire decât cu o metodă de calcul. Matematica este în primul rând un instrument de meditaţie şi abia în al doilea rând unul de calcul.

Pe scurt, metodele Monte Carlo constau în crearea unei istorii artificiale, utilizând următoarele concepte.

Mai întâi, să luăm în considerare eşantionul de parcurs. Istoriile invizibile poartă o denumire ştiinţifică, cea de eşantioane de parcurs alternative, împrumutată din domeniul matematicilor probabilităţilor, numite procese stocastice. Noţiunea de parcurs, prin opoziţie cu cea de rezultat, indică faptul că nu avem de-a face cu o simplă analiză de scenariu, gen şcoala de afaceri, ci cu examinarea unei secvenţe de scenarii de-a lungul timpului. Nu ne preocupă doar locul în care va ajunge o pasăre mâine seară, ci, mai degrabă, toate locurile diferite pe care le-ar putea vizita între timp. Nu ne preocupă cât ar putea câştiga un investitor într-un an, să zicem, ci, mai degrabă, aventurile emoţionante pe care le poate trăi în această perioadă. Cuvântul eşantion subliniază faptul că noi vedem doar o singură realizare dintr-o colecţie de realizări posibile. Acum, un eşantion de parcurs poate fi determinist sau aleatoriu, fapt care ne conduce către următoarea deosebire.

Un eşantion de parcurs aleatoriu, botezat, de asemenea, şi cursă aleatorie, este denumirea matematică pentru o succesiune de evenimente istorice virtuale, începând şi încheindu-se la nişte date stabilite, cu excepţia faptului că acestea sunt supuse unui nivel variat de incertitudine. Totuşi, cuvântul aleatoriu n-ar trebui încurcat cu cel de echiprobabil (adică având aceeaşi probabilitate). Unele rezultate au o probabilitate mai ridicată decât altele. Un exemplu de eşantion de parcurs aleatoriu poate fi temperatura corpului vărului tău explorator pe parcursul ultimei sale crize de febră tifoidă, măsurată oră de oră, de la începutul până la sfârşitul episodului febril. de asemenea, poate fi o simulare a preţului stocului de acţiuni la firma de tehnologie preferată, măsurat zilnic la închiderea pieţei, vreme de un an, să zicem. Începând de la 100 de dolari, într-un scenariu, poate sfârşi la un preţ de 20 de dolari, după un maxim de 220 de dolari; într-un alt scenariu, poate sfârşi la un preţ de 145 de dolari, după ce a coborât la 10 dolari. Un alt exemplu este evoluţia câştigului tău pe parcursul unei seri la cazinou. Începe cu 1 000 de dolari în buzunar şi numără-i la fiecare cincisprezece minute. Într-un eşantion de parcurs, vei avea 2 200 de dolari la miezul nopţii; într-un altul, abia dacă îţi vor rămâne 20 de dolari de taxi.

Procesele stocastice se referă la dinamica evenimentelor desfăşurate pe parcursul timpului. Stocastic este o denumire simandicoasă în greacă pentru aleatoriu. Această ramură a probabilităţii se ocupă de studiul evoluţiei evenimentelor succesive aleatorii – s-ar putea numi matematica istoriei.

Imaginează-ţi că-ţi poţi construi în mansardă o replică perfectă a unei roţi de ruletă, fără ajutorul unui tâmplar. Programele de calculator pot fi făcute să simuleze aproape orice. Sunt chiar mai bune şi mai bune (şi mai ieftine) decât roata de ruletă construită de tâmplarul tău, fiindcă versiunea fizică ar putea fi predispusă la favorizarea unui anumit număr în dauna celorlalte, din cauza unei posibile înclinaţii în construcţia sa ori a podelei mansardei tale. Acestea se numesc deviaţii.

Dacă le-aş compara cu tot ce-am văzut până acum, în viaţa mea de adult, simulările Monte Carlo au aspectul unui joc. O simulare poate genera mii, ba chiar milioane de eşantioane de parcurs aleatorii, şi analiza caracteristicile prevalente ale câtorva particularităţi. Asistenţa computerului este indispensabilă pentru asemenea studii. Referinţa elegantă la Monte Carlo se referă la metafora simulării evenimentelor aleatorii în maniera unui cazinou virtual. Se stabilesc condiţiile considerate predominante în realitate şi se lansează un set de simulări în jurul evenimentelor posibile. Fără vreo pregătire matematică, putem efectua o simulare Monte Carlo a unui creştin libanez de optsprezece ani care joacă cu succes ruleta rusească pe o anumită sumă de bani şi putem vedea câte dintre aceste tentative au ca rezultat îmbogăţirea sau cât durează, în medie, până devine subiect de ferpar. Putem face ca butoiaşul cu gloanţe să conţină 500 de compartimente, o chestiune care ar scădea probabilitatea decesului, şi apoi putem vedea rezultatele.

Metodele de simulare Monte Carlo au fost iniţiate în laboratoarele de fizică de război de la Los Alamos, în timpul pregătirii bombei atomice. Ele au devenit faimoase în matematica financiară în anii ’80, în special în teoriile mersului aleatoriu al preţului activelor. În mod limpede, trebuie să spunem că exemplul ruletei ruseşti nu are nevoie de un astfel de aparat, dar multe probleme, în special cele care seamănă cu situaţiile reale de viaţă, necesită puterea dată de un simulator Monte Carlo.

De exemplu, cineva fără cunoştinţe formale de geometrie poate calcula misteriosul, aproape misticul număr Pi, cu o precizie posibilă infinită. În mod evident, nu aşa se utilizează eficient un computer, deoarece Pi poate fi calculat analitic, adică într-o formă matematică, însă metoda poate oferi multor utilizatori o idee mai bună despre subiect decât şirurile de ecuaţii. Intuiţia şi creierul unor persoane sunt astfel orientate încât sunt mai capabile să înţeleagă un aspect într-o asemenea manieră (mă număr şi eu printre ei). Computerul s-ar putea să nu fie ceva natural pentru creierul uman; dar nici matematica.

O altă analogie ar fi cu gramatica; matematica este, de multe ori, o gramatică plictisitoare şi lipsită de profunzime. Există persoane interesate de gramatică de dragul ei şi persoane interesate să nu greşească în textele pe care le scriu. Cei din categoria a doua se numesc „cuanţi” – ca fizicieni, suntem mai interesaţi de utilitatea instrumentului matematic decât de instrumentul în sine. Matematicienii se nasc, nu se fac. La fel şi fizicienii şi cuanţii. Mie nu-mi pasă de „eleganţa” şi „calitatea” matematicii pe care o folosesc, atât timp cât pot dovedi argumentul. Apelez la maşinile Monte Carlo de fiecare dată când am ocazia. Ele pot rezolva treaba. Şi sunt, de asemenea, mult mai educative, (…)

Într-adevăr, probabilitatea este un câmp introspectiv de anchetă, deoarece afectează mai multe ştiinţe şi, în special, pe mata tuturor ştiinţelor: cea a cunoaşterii. Este imposibil să evaluăm calitatea cunoştinţelor pe care le acumulăm fără a ţine cont de o anumită contribuţie a hazardului în maniera în care sunt obţinute şi fără a elimina din cadrul argumentului incidenţa norocului care s-ar fi putut strecura în construirea lui. În ştiinţă, probabilitatea şi informaţia sunt tratate în aceeaşi manieră. Efectiv, fiecare mare gânditor s-a preocupat de ea, cei mai mulţi în mod obsesiv. Einstein şi Keynes, cele mai mari minţi ale omenirii, după părerea mea, şi-au început călătoria intelectuală prin intermediul ei. Einstein a scris o lucrare majoră în 1905, în care a fost, posibil, primul care a cercetat în termeni probabilistici succesiunea evenimentelor aleatorii, şi anume evoluţia particulelor suspendate într-un lichid staţionar. Articolul lui despre teoria mişcării browniene poate fi folosit drept coloana vertebrală a mersului aleatoriu folosit în modelarea financiară. În cel priveşte pe Keynes, pentru persoanele educate el nu este economistul politic din care adoră să citeze stângiştii de duzină, ci autorul magistralului, pătrunzătorului şi puternicului A tratise on Probability. Pentru că, înainte de a se aventura în domeniul economiei politice, Keynes a fost probabilist. A avut, de asemenea, şi alte calităţi interesante (şi-a distrus linia de credit a propriei afaceri, după ce a cunoscut o opulenţă excesivă –  înţelegerea probabilităţii de către unii oameni nu se transmite în comportamentul lor).

Cititorul a ghicit poate că următorul pas dintr-o astfel de introspecţie probabilistă este acela de a ne lăsa atraşi de filozofie, în special de ramura preocupată de cunoaştere a acesteia, numită epistemologie sau metodologie ori filozofia ştiinţei.

La începutul anilor ’90, ca mulţi dintre prietenii mei din domeniul finanţelor cantitative, am devenit dependent de tot soiul de mecanisme Monte Carlo, pe care am învăţat să le construiesc singur, încântat de sentimentul că generez istorie, asemenea unui demiurg. Poate fi incitant să generezi istorii virtuale şi să urmăreşti dispersia între diferitele rezultate. Această dispersie indică gradul de rezistenţă la aleatoriu. (…)

Avantajul revoluţiei computerizate nu ni s-a înfăţişat sub forma avalanşei de mesaje prin e-mail, perpetuate de la sine, ori a accesului la chat-rooms, ci prin disponibilitatea bruscă a procesoarelor rapide, capabile să genereze milioane de eşantioane de parcurs într-un minut.

Mecanismul meu Monte Carlo m-a dus spre câteva aventuri interesante. (…) Am început să simulez populaţii de animale, cu mutaţii rapide cauzate de schimbările climatice, numite Zorglubi, şi am tras cele mai surprinzătoare concluzii (…). Scopul meu, ca amator autentic, care fuge de plictiseala vieţii de afaceri, a fost acela de a dezvolta intuiţii despre aceste evenimente – genul de intuiţii pe care le-ar construi un amator pe baza detaliilor excesiv de sofisticate ale unui cercetător profesionist. (…)

Presupun că mi-am depăşit dorinţa de a genera curse aleatorii de fiecare dată când vreau să explorez un subiect – dar, datorită faptului că m-am jucat cu mecanismele Monte Carlo ani la rând, nu mai pot vizualiza un rezultat realizat fără referire la cele nerealizate. Denumesc acest proces „suma subistoriilor”, împrumutând expresia de la pitorescul fizician Richard Feynman, care a aplicat astfel de metode pentru a examina dinamica particulelor subatomice.

Lucrurile sunt întotdeauna evidente după ce au avut loc. (…) Când analizezi trecutul, acesta va părea întotdeauna determinist, de vreme ce s-a produs o singură observaţie. Mintea noastră va interpreta majoritatea evenimentelor nu în lumina celor precedente, ci în lumina celor ce urmează. (…) minţile noastre nu sunt tocmai programate să înţeleagă cum funcţionează lumea, ci, mai degrabă, să scape din belea şi să aibă urmaşi. Dacă ar fi fost făcute să priceapă lucrurile, atunci am avea o maşinărie înăuntrul lor, care ar derula istoria trecută ca într-un aparat video, cu o cronologie exactă, şi ne-ar încetini atât de mult, încât am avea probleme de funcţionare. Psihologii numesc această supraestimare a lucrurilor pe care cineva le ştia în momentul evenimentului, datorită informaţiilor ulterioare, deviaţie retrospectivă, efectul „Am ştiut din prima”.

Există un aspect important şi netrivial al gândirii istorice, mai potrivit, probabil, pentru pieţele financiare, decât pentru orice altceva: spre deosebire de multe ştiinţe „grele”, istoria nu poate fi supusă experimentării. Dar, într-un fel, în genere, istoria este suficient de puternică pentru a furniza, cu timpul, pe termen mediu şi lung, majoritatea scenariilor posibile şi, eventual, pentru a îngropa personajele negative. tranzacţiile proaste te ajung din urmă, se spune adesea pe pieţele financiare. Matematicienii care se ocupă de probabilitate i-au dat acestui fenomen un nume simandicos: ergodicitate. Înseamnă, în mare, că (în anumite condiţii) eşantioanele de parcurs foarte lungi vor ajunge să semene între ele. Proprietăţile unui eşantion de parcurs foarte foarte lung ar fi similare proprietăţilor medii ale celor scurte dintr-un mecanism Monte Carlo. Dacă omul de serviciu din Capitolul I care a câştigat la loterie ar trăi o mie de ani, nu ar fi de aşteptat să mai câştige vreo loterie. Cei care au avut ghinion în viaţă, în ciuda competenţelor lor, ar scoate până la urmă capul la lumină. S-ar putea ca prostul norocos să fi avut noroc la viaţa lui; pe termen lung, starea lui va converge încet spre cea a unui prost mai puţin norocos. Pe termen lung, fiecare va reveni la proprietăţile pe care le are.

Înţeleptul dă ascultare înţelesului; prostul nu aude decât zgomotul. Poetul grec modern Kavafis a scris un vers, în 1915, după zicala lui Filostrat: „Căci zeii zăresc lucrurile viitoare, oamenii obişnuiţi pe cele prezente, iar înţelepţii pe acelea pe cale să se petreacă.” Kavafis a scris:

M-am gândit îndelung şi din greu cum să explic, folosind, pe cât posibil, cât mai puţine cunoştinţe de matematică, diferenţa dintre zgomot şi înţeles, şi cum să arăt de ce scara de măsurare a timpului este importantă în judecarea unui eveniment istoric. Simulatorul Monte Carlo ne poate oferi o astfel de intuiţie.